Algo de eso se ha comentado previamente al ver el video que publicó Km77:
El CX-3 es un Mazda 2 elevado y con pretensiones de ser más directo y deportivo de reacciones. Lo cual es per-se una incongruencia.
Si elevas un coche subes el centro de gravedad y con él aumenta la inestabilidad. Para controlar los cabeceos y la tendencia al vuelco debes endurecer si o si la suspensión, y cuando haces eso el coche es mas sensible a los baches.
Curiosamente Mazda y en general otros japoneses suelen dejar bastante recorrido de suspensión para que el coche sea ágil sin perder confort, pero los milagros no existen. de ahí que el coche tenga un balance particular entre bastante recorrido de suspensión pero cierta dureza en la compresión. Para ser un mini SUV tiene bastante buen compromiso, pero ten en cuenta que es casi 10cm mas alto que los otros coches que has tenido anteriormente.
El confort solo lo vas a lograr cambiando los amortiguadores o los muelles, pero con eso solo vas a hacer que el coche flanee más.
Y si lo quieres menos rebotón también vas a tener que tocar muelles o amortiguadores, pero salvo marcas premium muy caras seguramente pierdas algo de confort.
Yo en tu caso empezaría por quitar las horribles Toyo y poner neumáticos con mayor agarre que no permitan deslizar tanto el coche. Porque un tema que se observa en el video es que el coche tiene esa agilidad de la trasera que te ayuda a cerrar el giro, pero lo hace de una manera un tanto brusca. De primeras no agarra nada, y por lo tanto desliza, luego retoma el agarre y por lo tanto hace trabajar a la suspensión y rebota, y eso produce un baile lateral que tarda en controlarse porque tiene mucho recorrido de suspensión. Con neumáticos que no pierdan agarre con tanta facilidad y unos muelles mas duros que limiten un poco el enorme recorrido de suspensión las reacciones deberían ser más neutras, aunque mas peligrosas porque cuando el coche se va, dejan menos margen para corregir el error.
Resumiendo, el coche tiene esas peculiaridades. Si no te convencen y te empiezan a obsesionar será mejor que te cambies a un Mazda 3 que es mas bajito, más ancho y en general bastante más estable. Y si quieres probar cambios con poca inversión... neumáticos y/o muelles.